广义动量守恒推导
下面给出一个较为详细的推导思路，说明为什么会得到方程
[
\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{p}_\perp + q,\mathbf{A}\bigr) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{p}_\perp = \mathbf{p}_\perp^0 ;-; q,\mathbf{A},
]
以及 (\mathbf{p}_\perp^0 = m \gamma^0 \mathbf{v}_\perp^0) 等结果。这里 (\mathbf{p}_\perp) 指的是粒子的横向(与主传播方向正交)动量，(\mathbf{A}) 是电磁势(矢势)，(q) 是粒子电荷，(m) 是粒子质量，(\gamma) 是相对论因子。下面分步骤说明。
1. 广义动量的定义与运动方程
在经典电动力学中，带电粒子在电磁场中运动的拉格朗日量可以写作
[
\mathcal{L} ;=; -,m c^2,\sqrt{1 - v^2/c^2} ;+; q,\mathbf{A}\cdot\mathbf{v} ;-; q,\phi,
]
其中 (\mathbf{A}) 是矢势、(\phi) 是标势，(\mathbf{v}) 是粒子速度，(c) 是光速。相应的广义动量(canonical momentum)定义为
[
\mathbf{P} ;=; \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{v}}
;=; \mathbf{p} + q,\mathbf{A},
]
其中
[
\mathbf{p} ;=; \gamma m,\mathbf{v}
\quad (\text{惯性动量或机械动量}).
]
因此
[
\mathbf{p} ;=; \mathbf{P} ;-; q,\mathbf{A}.
]
电磁场中的牛顿方程
带电粒子在电磁场中的相对论运动方程(牛顿-洛伦兹方程)可以写作
[
\frac{d\mathbf{p}}{dt} ;=; q,\bigl(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr).
]
若用广义动量 (\mathbf{P} = \mathbf{p} + q\mathbf{A}) 来表述，则有
[
\frac{d\mathbf{P}}{dt}
;=; q,\mathbf{E} + q,\frac{d\mathbf{A}}{dt}
;=; q\bigl(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr),
]
因为 (\mathbf{E} = -,\nabla \phi - \partial_t \mathbf{A}) 且 (\mathbf{v}\times\mathbf{B}) 也可以用 (\mathbf{A}) 表示。经过一系列推导后，若在某些方向(比如横向方向 (\perp))上，系统的对称性或平移不变性保证了对该分量的广义动量守恒，那么就会得到
[
\frac{d}{dt}(\mathbf{p}_\perp + q,\mathbf{A}_\perp) ;=; 0.
]
2. 为何 (\frac{d}{dt}(\mathbf{p}_\perp + q,\mathbf{A}) = 0)？
在文中(方程(10b))，作者给出的理由是「由于在 (y) 和 (z) 方向的平移不变性(translational invariance)」，导致横向广义动量不随时间变化，即
[
\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{p}_\perp + q,\mathbf{A}\bigr) = 0.
]
换言之，在横向方向(相对于主传播或流动方向)没有空间上的变化或外力的额外依赖，因而该分量的广义动量守恒。
如果令 (\mathbf{p}_\perp^0) 表示 (t < 0) 时刻(或“初始”)的横向动量，且当 (t<0) 时矢势 (\mathbf{A} = 0)，那么守恒量就是
[
\mathbf{p}\perp^0 + q,\mathbf{A}\big|{t<0} ;=; \mathbf{p}_\perp^0.
]
因为守恒，所以在 (t\ge 0) 的任何时刻都满足
[
\mathbf{p}_\perp(t) + q,\mathbf{A}(t) ;=; \mathbf{p}_\perp^0.
]
从而得到
[
\mathbf{p}_\perp(t)
;=; \mathbf{p}_\perp^0 - q,\mathbf{A}(t).
]
这正是方程(11)的主要形式。
3. 初始横向动量 (\mathbf{p}_\perp^0) 的物理含义
[
\mathbf{p}_\perp^0 ;=; m,\gamma^0 ,\mathbf{v}_\perp^0
;=; -,\hat{\mathbf{y}},m,c,\tan\alpha,
]
表明最初(比如等离子体还未受到后续场作用时，(t<0))，带电粒子在横向((\perp))方向有一个初始速度 (\mathbf{v}_\perp^0)，对应的相对论动量即
[
\mathbf{p}_\perp^0 = \gamma^0 m \mathbf{v}_\perp^0.
]
这里 (\gamma^0 = 1/\sqrt{1 - (v_\perp^0)^2/c^2}) 表示初始速度对应的相对论因子。文中举例给出了 (\mathbf{p}_\perp^0 = -,\hat{\mathbf{y}},m,c,\tan\alpha) 这样一个具体数值，说明粒子初始时在负 (y) 方向以一定速度((\tan\alpha) 相关)运动。
4. 总结推导脉络
- 广义动量守恒的关键：由于在横向方向上(这里指 (y,z) 或者作者只关注某个正交方向)不存在对粒子的净推力，或者说系统在该方向上具备平移对称性，因此(\mathbf{p}_\perp + q,\mathbf{A}) 守恒。
- 初始条件：(t<0) 时，(\mathbf{A}=0)，故初始时刻的广义动量就是粒子的机械动量 (\mathbf{p}_\perp^0)。
- 随时间推演：由于守恒量不变，可写出
[
\mathbf{p}_\perp(t) + q,\mathbf{A}(t)
;=; \mathbf{p}_\perp^0
\quad\Longrightarrow\quad
\mathbf{p}_\perp(t)
;=; \mathbf{p}_\perp^0 - q,\mathbf{A}(t).
] - 相对论动量表达：(\mathbf{p}_\perp^0 = m,\gamma^0,\mathbf{v}_\perp^0)，并且在具体物理情景(例如等离子体流动)中可以给出速度或动量的方向和大小，如文中的 (-\hat{\mathbf{y}},m,c,\tan\alpha)。
要点在于：
- 电磁场中，机械动量 (\mathbf{p}) 并非一定守恒，但广义动量 (\mathbf{p} + q\mathbf{A}) 可能由于对称性而守恒。
- 一旦认定在某个方向上无净力(或场结构具备平移不变性)，就可断言那一方向的广义动量守恒，从而得到 (\mathbf{p}_\perp = \mathbf{p}_\perp^0 - q\mathbf{A}) 这样的形式。
- 初始条件决定了 (\mathbf{p}_\perp^0) 的具体值，再结合守恒方程就能得到随时间演化的横向动量。